10-60 할리데이 11판 솔루션 일반물리학

(풀이자주:풀이에 도형의 회전관성이 필요합니다. 관련한 내용은 별도의 링크로 분리했습니다. 해당 도형의 회전관성을 구하는 법에 관한 이해는 현재과정에서의 필수는 아니니 결론만 보고 건너뛰어도 무방합니다.)

https://solutionpia.tistory.com/796

가는 막대의 회전 관성

 

$$ \begin{cases} L&=1.70\ut{m}\\ g&=9.80665\ut{m/s^2}\\ \end{cases} $$ $$r_\com=h=-\Delta y=\frac{L}{2},$$ $$v=r\omega,$$ $$ \begin{aligned} \(\frac{v_\com}{v_L}\)^2&=\(\frac{r_\com\omega}{r_L\omega}\)^2\\ &=\(\frac{\frac{L}{2}}{L}\)^2\\ &=\frac{1}{4}\\ \end{aligned} $$ $$\therefore {v_\com}^2=\frac{{v_L}^2}{4}\taag1$$ $$v=r\omega,$$ $$ \begin{aligned} \omega^2&=\(\frac{{v_L}}{r_L}\)^2\\ &=\frac{{v_L}^2}{L^2}\taag2\\ \end{aligned} $$ $$I_{\text{Rod}}=\frac{1}{12}ML^2,$$ $$I=I_\com+mh^2,$$ $$ \begin{aligned} I&=\frac{1}{12}mL^2+m\(\frac{L}{2}\)^2\\ &=\frac{1}{3}mL^2\taag2 \end{aligned} $$ $$ \put \begin{cases} \RE : \text{Rotational Kinetic Energy}\\ \KE : \text{Translational Kinetic Energy}\\ \GE : \text{Gravitational Potential Energy}\\ \end{cases} $$ $$\Sigma \Delta E=0,$$ $$\Delta \GE+\Delta \KE+\Delta \RE=0$$ $$ \begin{aligned} 0&=\Delta \GE+\Delta \KE+\Delta \RE\\ &=mg\Delta y_{\com}+\frac{1}{2}m\Delta ({v_\com}^2)+\frac{1}{2}I\Delta (\omega^2)\\ &=mg\(-\frac{L}{2}\)+\frac{1}{2}m \(\frac{{v_L}^2}{4}\)+\frac{1}{2}\(\frac{1}{3}mL^2\) \(\frac{{v_L}^2}{L^2}\)\\ &=7{v_L}^2-12gL\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} v_L&=2\sqrt\frac{3gL}{7}\\ &=\sqrt\frac{102g}{35}\\ &\approx 5.345968574542877\ut{m/s}\\ &\approx 5.35\ut{m/s}\\ \end{aligned} $$