10-55 할리데이 11판 솔루션 일반물리학

(풀이자주:풀이에 도형의 회전관성이 필요합니다. 관련한 내용은 별도의 링크로 분리했습니다. 해당 도형의 회전관성을 구하는 법에 관한 이해는 현재과정에서의 필수는 아니니 결론만 보고 건너뛰어도 무방합니다.)

https://solutionpia.tistory.com/796

가는 막대의 회전 관성

 

$$ \put \begin{cases} a : \text{Axis Lod}\\ b : \text{Linking Axis Lod}\\ c : \text{Non-Linking Axis Lod}\\ H : \text{Full Object} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} L&=0.800\ut{m}\\ \Delta y_{H\com}&=-\frac{L}{2}\\ g&=9.80665\ut{m/s^2} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} r_a&=0\\ r_c&=L\\ \end{cases} $$ $$ \put \begin{cases} \RE : \text{Rotational Kinetic Energy}\\ \KE : \text{Translational Kinetic Energy}\\ \GE : \text{Gravitational Potential Energy}\\ \end{cases} $$ $$I=\Sigma mr^2,$$ $$I=I_\com+mh^2,$$ $$ \begin{cases} I_a&=0\\ I_b&=I_{b~\com}+m{h_b}^2\\ I_c&=mL^2\\ \end{cases} $$ $$I_{\text{Rod}}=\frac{1}{12}ML^2,$$ $$ \begin{aligned} I_b&=\frac{1}{12}mL^2+m\(\frac{L}{2}\)^2\\ &=\frac{1}{3}mL^2 \taag1 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} I_H &=\Sigma I\\ &=I_a+I_b+I_c\\ &=0+\frac{1}{3}mL^2+mL^2\\ &=\frac{4}{3}mL^2\taag2 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} {v_{H\com}}^2&=(r_{H\com}\omega_H)^2,\\ &=\(\frac{L}{2}\omega_H\)^2\\ &=\frac{L^2}{4}{\omega_H}^2\taag3\\ \end{aligned} $$ $$\Sigma \Delta E_H=0,$$ $$ \begin{aligned} 0&=\Delta\GE_H+\Delta\KE_H+\Delta\RE_H\\ &=mg\Delta y_{H\com}+\frac{1}{2}m\Delta({v_{H~\com}}^2)+\frac{1}{2}I\Delta\br{{\omega}^2}\\ &=mg\Delta y_{H\com}+\frac{1}{2}m\Delta\(\frac{L^2}{4}{\omega}^2\)+\frac{1}{2}\(\frac{4}{3}mL^2\)\Delta\br{{\omega}^2}\\ &=24g\Delta y_{H\com}+3L^2{\omega_{f}}^2+16L^2{\omega_{f}}^2\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \omega_{f}&=2\sqrt\frac{3g}{19L}\\ &=\sqrt\frac{15g}{19}\\ &\approx 2.782461519098361\ut{rad/s}\\ &\approx 2.78\ut{rad/s}\\ \end{aligned} $$