11-46 할리데이 11판 솔루션 일반물리학

(풀이자주:풀이에 도형의 회전관성이 필요합니다. 관련한 내용은 별도의 링크로 분리했습니다. 해당 도형의 회전관성을 구하는 법에 관한 이해는 현재과정에서의 필수는 아니니 결론만 보고 건너뛰어도 무방합니다.)

https://solutionpia.tistory.com/801

두꺼운 원형 고리의 회전 관성

 

$$I_{\text{Ring}}={1\over2}M\br{{R_i}^2+{R_o}^2},$$ $$\put \begin{cases} A : \text{Ring}\\ B : \text{Cat}\\ i : \text{in}\\ o : \text{out}\\ 1 : \text{Start}\\ 2 : \text{End}\\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} R_o&=0.800\ut{m}\\ R_i&={R_o\over2.00}\\ m_A&=8.00\ut{kg}\\ m_B&={m_A\over4.00}\\ \omega_1&=9.00\ut{rad/s}\\ r_{B1}&=R_o\\ r_{B2}&=R_i\\ \end{cases}$$ $$\Delta \Sigma \vec L=0,$$ $$\begin{aligned} 0 &=\Delta \Sigma L\\ &=\Delta \Sigma \br{I\omega}\\ &=\Delta \br{\omega\Sigma I}\\ &={\omega_2\Sigma I_2}-{\omega_1\Sigma I_1}\\ \end{aligned}$$ $$\omega_2={\Sigma I_1\over \Sigma I_2}\cdot\omega_1\taag1$$ $$\begin{cases} \Sigma I_1&=I_A+I_{B1}\\ \Sigma I_2&=I_A+I_{B2}\\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} \Sigma I_1&={1\over2}m_A\br{{R_i}^2+{R_o}^2}+{m_B}{R_o}^2\\ \Sigma I_2&={1\over2}m_A\br{{R_i}^2+{R_o}^2}+m_B{R_i}^2\\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} \Sigma I_1&={1\over2}\br{4m_B}\br{{R_i}^2+\br{2R_i}^2}+{m_B}\br{2R_i}^2\\ \Sigma I_2&={1\over2}\br{4m_B}\br{{R_i}^2+\br{2R_i}^2}+m_B{R_i}^2\\ \end{cases}$$ $$\begin{cases} \Sigma I_1&=14m_B {R_i}^2\\ \Sigma I_2&=11m_B {R_i}^2\\ \end{cases}$$ $$\put \begin{cases} \RE : \text{Rotational Kinetic Energy}\\ \end{cases}$$ $$\begin{aligned} \Ans &=\Delta\Sigma {\RE}\\ &=\Delta\Sigma \br{{1\over2}I\omega^2}\\ &={1\over2}\Delta\br{\omega^2\Sigma I}\\ &={1\over2}\br{{\omega_2}^2\Sigma I_2-{\omega_1}^2\Sigma I_1}\\ &={1\over2}\bra{\br{{\Sigma I_1\over \Sigma I_2}\cdot\omega_1}^2\Sigma I_2-{\omega_1}^2\Sigma I_1}\\ &={1\over2}\cdot{\Sigma I_1\br{\Sigma I_1-\Sigma I_2}\over \Sigma I_2}\cdot{\omega_1}^2\\ &={1\over2}\cdot{14m_B {R_i}^2\br{14m_B {R_i}^2-11m_B {R_i}^2}\over 11m_B {R_i}^2}\cdot{\omega_1}^2\\ &={21\over11}\cdot m_B {R_i}^2\cdot{\omega_1}^2\\ &={13608\over275}\ut{J}\\ &\approx 49.483636363636364\ut{J}\\ &\approx 49.5\ut{J}\\ \end{aligned}$$