11-27 할리데이 11판 솔루션 일반물리학

(풀이자주:풀이에 도형의 회전관성이 필요합니다. 관련한 내용은 별도의 링크로 분리했습니다. 해당 도형의 회전관성을 구하는 법에 관한 이해는 현재과정에서의 필수는 아니니 결론만 보고 건너뛰어도 무방합니다.)

https://solutionpia.tistory.com/799

속이 빈 얇은 구 껍질의 회전 관성

 

$$ \put \begin{cases} \RE : \text{Rotational Kinetic Energy}\\ \KE : \text{Translational Kinetic Energy}\\ \GE : \text{Gravitational Potential Energy}\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} R&=0.15\ut{m}\\ I&=0.040\ut{kg\cdot m^2}\\ \theta&=30\degree\\ \KE_i+\RE_i&=34\ut{J}\\ \Delta y&=+1.0\ut{m} \end{cases} $$ $$I_{\text{Hollow Sphere}}=\frac{2}{3}MR^2,$$ $$v=\omega R,$$ $$\ab{a}$$ $$ \begin{aligned} \Ans &=\frac{\RE}{\RE+\KE}\\ &=\frac{\frac{1}{2}I\omega^2}{\frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2}\\ &=\frac{(\frac{2}{3}mR^2)\omega^2}{(\frac{2}{3}mR^2)\omega^2+m(\omega R)^2}\\ &=\frac{2}{5}\\ &=0.40 \end{aligned} $$ $$\ab{b}$$ $$\RE= {1\over2}I\omega^2,$$ $$ \begin{aligned} v &= \omega R\\ &= R\sqrt{2\RE\over I} \\ &= R\sqrt{{2\over I}\cdot{2(\KE_i+\RE_i)\over5}}\\ &=3\sqrt{17\over 10}\ut{m/s}\\ &\approx 3.9115214431215892\ut{m/s}\\ &\approx 3.9\ut{m/s}\\ \end{aligned} $$ $$\ab{c}$$ $$ \begin{aligned} m&={3I\over2R^2},\\ \end{aligned} $$ $$\Sigma \Delta E=0,$$ $$\Delta \GE+\Delta (\KE+ \RE)=0$$ $$ \begin{aligned} 0 &=\Delta \GE+\Delta (\KE+ \RE)\\ &=mg \Delta y+ (\KE_f+\RE_f)-(\KE_i+ \RE_i)\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \KE_f+ \RE_f &=(\KE_i+ \RE_i)-mg \Delta y \\ &=(\KE_i+ \RE_i)-\br{3I\over2R^2}g \Delta y \\ &=34-{8\over3g}\\ &\approx 33.72807567653922\ut{J}\\ &\approx 34\ut{J}\\ \end{aligned} $$ $$\ab{d}$$ $$\KE={1\over2}mv^2,$$ $$ \begin{aligned} v_f&=\sqrt{2\KE\over m}\\ &=\sqrt{{2\over {3I\over2R^2}}\cdot{3\over5}(\RE_f+\KE_f)}\\ &=\sqrt{{3\over10}\br{51-{4\over g}}}\\ &\approx 3.8958483099888075\ut{m/s}\\ &\approx 3.9\ut{m/s}\\ \end{aligned} $$