[풀이자주 : 이 문제의 모든 조건을 만족시키면 두 구간이 만나는 시점의 속도가 일치하지 않습니다. (최하단 그래프 참고) 1. 출발지 or 도착지에서 정지하지 않았거나, 2. 구간이 1:3분할이 아니거나, 3. 주어진 가속도가 오차 혹은 틀렸거나 4. 구간변경시점에 무한대의 가속으로 속도가 점프했거나(=물리적으로 불가능) 중 하나입니다. 물리적으로 불가능하지만, 모든 주어진 조건이 참이라고 가정하고 풀었습니다. 위의 4번가능성인 양쪽에서 구한 속도가 구간변경시점에 일치하지 않을 수 있다, 즉, 무한대의 가속도로 속도가 순간변화했다는 가정을 한 것입니다. 만일 위의 다른 가정하에 푼다면 답은 달라집니다. 주의바랍니다.] [조금만 기하적으로 해석해보면 vt그래프 기준으로 밑넓이가 이동거리이므로, 넓이비가 1:3이며 높이가 같으려면 필수적으로 시간비도 1:3이 되어야 하며, 기울기비는 자동으로 3:1이 되어야 합니다. 하지만 주어진 기울기비는 11:3이죠. 다시말해 거리비(=넓이비)가 3:11 이되거나, 기울기비가 1:3이 되면 조건이 맞을 수 있습니다. 혹은 출발or도착지점에서 정지하지 않았다고 가정하는 방법도 있겠네요.] 덕분에 뭐가 틀렸나 찾느라 개고생했네요 ㅜㅠ
{ v 0 = 0 v 4 = 0 x 0 = 0 x 4 = 900 [ m ] x 1 = 1 4 x 4 = 900 4 = 225 [ m ] Δ x 1 → 4 = 3 4 x 4 = 3 4 900 = 675 [ m ] a 0 → 1 = + 2.75 [ m / s 2 ] a 1 → 4 = − 0.750 [ m / s 2 ] \begin{cases} v_0 &= 0 \\ v_4 &= 0 \\ x_0 &= 0 \\ x_4 &= 900\ut{m} \\ x_1 &= \frac{1}{4}x_4 = \frac{900}{4} = 225\ut{m} \\ \Delta x_{1\to4} &= \frac{3}{4}x_4 = \frac{3}{4}900 = 675\ut{m} \\ a_{0\to1} &= +2.75 \ut{m/s^2} \\ a_{1\to4} &= -0.750 \ut{m/s^2} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ v 0 v 4 x 0 x 4 x 1 Δ x 1 → 4 a 0 → 1 a 1 → 4 = 0 = 0 = 0 = 900 [ m ] = 4 1 x 4 = 4 900 = 225 [ m ] = 4 3 x 4 = 4 3 900 = 675 [ m ] = + 2.75 [ m/ s 2 ] = − 0.750 [ m/ s 2 ] (a) t 4 = ? t_4 =? t 4 = ? Δ x = v 0 t + 1 2 a t 2 , Δ x 0 → 1 = v 0 t 0 → 1 + 1 2 a 0 → 1 t 0 → 1 2 x 1 − x 0 = 1 2 a 0 → 1 ( t 1 − t 0 ) 2 x 1 = 1 2 a 0 → 1 t 1 2 ⋯ ( 2 − 36 − 1 ) t 1 = 2 x 1 a 0 → 1 ⋯ ( 2 − 36 − 2 ) \begin{aligned} \Delta x &= v_0t+\frac{1}{2}at^2, \\ \Delta x_{0\to1} &= v_0t_{0\to1}+\frac{1}{2}a_{0\to1}t_{0\to1}^2 \\ x_1-x_0 &= \frac{1}{2}a_{0\to1}(t_1-t_0)^2 \\ x_1 &= \frac{1}{2}a_{0\to1}t_1^2 \cdots(2-36-1) \\ t_1 &= \sqrt{\frac{2x_1}{a_{0\to1}}} \cdots({2-36-2}) \end{aligned} Δ x Δ x 0 → 1 x 1 − x 0 x 1 t 1 = v 0 t + 2 1 a t 2 , = v 0 t 0 → 1 + 2 1 a 0 → 1 t 0 → 1 2 = 2 1 a 0 → 1 ( t 1 − t 0 ) 2 = 2 1 a 0 → 1 t 1 2 ⋯ ( 2 − 36 − 1 ) = a 0 → 1 2 x 1 ⋯ ( 2 − 36 − 2 ) Δ x = v t − 1 2 a t 2 , Δ x 1 → 4 = v 4 t 1 → 4 − 1 2 a 1 → 4 t 1 → 4 2 = − 1 2 a 1 → 4 t 1 → 4 2 ⋯ ( 2 − 36 − 3 ) \begin{aligned} \Delta x &= vt-\frac{1}{2}at^2, \\ \Delta x_{1\to4} &= v_4t_{1\to4}-\frac{1}{2}a_{1\to4}t_{1\to4}^2 \\ &= -\frac{1}{2}a_{1\to4}t_{1\to4}^2 \cdots(2-36-3) \end{aligned} Δ x Δ x 1 → 4 = v t − 2 1 a t 2 , = v 4 t 1 → 4 − 2 1 a 1 → 4 t 1 → 4 2 = − 2 1 a 1 → 4 t 1 → 4 2 ⋯ ( 2 − 36 − 3 ) t 1 → 4 2 = − 2 Δ x 1 → 4 a 1 → 4 t 4 − t 1 = − 2 Δ x 1 → 4 a 1 → 4 ( ∵ t ≥ 0 ) \begin{aligned} t_{1\to4}^2 &= - \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}} \\ t_4-t_1 &= \sqrt{- \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}}} \ (\because t\ge 0) \end{aligned} t 1 → 4 2 t 4 − t 1 = − a 1 → 4 2Δ x 1 → 4 = − a 1 → 4 2Δ x 1 → 4 ( ∵ t ≥ 0 ) A n s = t 4 = t 1 + − 2 Δ x 1 → 4 a 1 → 4 = 2 x 1 a 0 → 1 + − 2 Δ x 1 → 4 a 1 → 4 = 2 ( 225 [ m ] ) + 2.75 [ m / s 2 ] + − 2 ( 675 [ m ] ) − 0.750 [ m / s 2 ] = 60 6 11 + 1 11 [ s ] ⋯ ( 2 − 36 − 4 ) ≈ 55.21844985252948 [ s ] ≈ 55.2 [ s ] \begin{aligned} \Ans &=t_4 = t_1+\sqrt{- \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}}} \\ &= \sqrt{\frac{2x_1}{a_{0\to1}}} +\sqrt{- \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}}} \\ &= \sqrt{\frac{2(225\ut{m})}{+2.75 \ut{m/s^2}}}+ \sqrt{-\frac{2(675\ut{m})}{-0.750 \ut{m/s^2}}} \\ &= 60 \sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}\ut{s}\cdots(2-36-4) \\ &\approx 55.21844985252948\ut{s} \\ &\approx 55.2\ut{s} \end{aligned} Ans = t 4 = t 1 + − a 1 → 4 2Δ x 1 → 4 = a 0 → 1 2 x 1 + − a 1 → 4 2Δ x 1 → 4 = + 2.75 [ m/ s 2 ] 2 ( 225 [ m ] ) + − − 0.750 [ m/ s 2 ] 2 ( 675 [ m ] ) = 60 11 6 + 11 1 [ s ] ⋯ ( 2 − 36 − 4 ) ≈ 55.21844985252948 [ s ] ≈ 55.2 [ s ] (b) max v = v M = v 1 ? \max v = v_M = v_1? max v = v M = v 1 ? 2 a Δ x = v 2 − v 0 2 , 2 a 0 → 1 Δ x 0 → 1 = v 1 2 − v 0 2 \begin{aligned} 2a\Delta x &= v^2-v_0^2, \\ 2a_{0\to 1}\Delta x_{0\to 1} &= v_1^2-v_0^2 \end{aligned} 2 a Δ x 2 a 0 → 1 Δ x 0 → 1 = v 2 − v 0 2 , = v 1 2 − v 0 2 v 1 = 2 a 0 → 1 ( x 1 − x 0 ) = 2 a 0 → 1 x 1 = 2 ( + 2.75 [ m / s 2 ] ) ( 225 [ m ] ) = 15 11 2 [ m / s ] ≈ 35.17811819867573 [ m / s ] ≈ 35.2 [ m / s ] \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{2a_{0\to 1}(x_1-x_0)} \\ &= \sqrt{2a_{0\to 1}x_1} \\ &= \sqrt{2(+2.75 \ut{m/s^2})(225\ut{m})} \\ &= 15 \sqrt{\frac{11}{2}}\ut{m/s} \\ &\approx 35.17811819867573\ut{m/s} \\ &\approx 35.2\ut{m/s} \end{aligned} v 1 = 2 a 0 → 1 ( x 1 − x 0 ) = 2 a 0 → 1 x 1 = 2 ( + 2.75 [ m/ s 2 ] ) ( 225 [ m ] ) = 15 2 11 [ m/s ] ≈ 35.17811819867573 [ m/s ] ≈ 35.2 [ m/s ] (c) ( 2 − 36 − 2 ) , (2-36-2), ( 2 − 36 − 2 ) , t 1 = 2 x 1 a 0 → 1 = 2 ( 225 [ m ] ) + 2.75 [ m / s 2 ] = 30 2 11 [ s ] \begin{aligned} t_1 &= \sqrt{\frac{2x_1}{a_{0\to1}}} \\ &= \sqrt{\frac{2(225\ut{m})}{+2.75 \ut{m/s^2}}} \\ &= 30 \sqrt{\frac{2}{11}}\ut{s} \end{aligned} t 1 = a 0 → 1 2 x 1 = + 2.75 [ m/ s 2 ] 2 ( 225 [ m ] ) = 30 11 2 [ s ] (Case A) \text{(Case A)} (Case A) t < t 1 t<t_1 t < t 1 ( 2 − 36 − 1 ) , (2-36-1), ( 2 − 36 − 1 ) , Δ x 0 → 1 = 1 2 a A t 0 → 1 2 x ( t ) − x 0 = 1 2 a A ( t − t 0 ) 2 x ( t ) = 1 2 ( 2.75 ) t 2 = 11 8 t 2 , ( t < t 1 ) \begin{aligned} \Delta x_{0\to 1} &=\frac{1}{2}a_At_{0\to 1}^2 \\x(t)-x_0&=\frac{1}{2}a_A(t-t_0)^2 \\x(t)&= \frac{1}{2}(2.75)t^2 \\&=\frac{11}{8}t^2, &(t < t_1) \end{aligned} Δ x 0 → 1 x ( t ) − x 0 x ( t ) = 2 1 a A t 0 → 1 2 = 2 1 a A ( t − t 0 ) 2 = 2 1 ( 2.75 ) t 2 = 8 11 t 2 , ( t < t 1 ) v ( t ) = x ˙ = d x d t = d d t ( 11 8 t 2 ) = 11 4 t , ( t < t 1 ) \begin{aligned} v(t) &= \dot x = \dxt{x} \\&=\dt\left(\frac{11}{8}t^2\right) \\&=\frac{11}{4}t, &(t < t_1) \end{aligned} v ( t ) = x ˙ = d t d x = d t d ( 8 11 t 2 ) = 4 11 t , ( t < t 1 ) a ( t ) = v ˙ = d v d t a(t) = \dot v = \dxt{v} a ( t ) = v ˙ = d t d v a ( t ) = d d t ( 11 4 t ) = 11 4 , ( t < t 1 ) \begin{aligned} a(t)&=\dt \left(\frac{11}{4}t \right) \\&=\frac{11}{4}, &(t < t_1) \end{aligned} a ( t ) = d t d ( 4 11 t ) = 4 11 , ( t < t 1 ) (Case B) \text{(Case B)} (Case B) t > t 1 t>t_1 t > t 1 ( 2 − 36 − 3 ) , (2-36-3), ( 2 − 36 − 3 ) , Δ x 1 → 4 = − 1 2 a B t 1 → 4 2 x 4 − x ( t ) = − 1 2 a B ( t 4 − t ) 2 \begin{aligned} \Delta x_{1\to 4} &= -\frac{1}{2}a_Bt_{1\to 4}^2 \\ x_4-x(t) &= -\frac{1}{2}a_B(t_4-t)^2 \end{aligned} Δ x 1 → 4 x 4 − x ( t ) = − 2 1 a B t 1 → 4 2 = − 2 1 a B ( t 4 − t ) 2 ( 2 − 36 − 4 ) , (2-36-4), ( 2 − 36 − 4 ) , x ( t ) = 900 + 1 2 ( − 0.750 ) ( 60 6 11 + 1 11 − t ) 2 = 900 − 3 8 ( 60 6 11 + 1 11 − t ) 2 , ( t > t 1 ) \begin{aligned} x(t)&=900+ \frac{1}{2}(-0.750)\left(60 \sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right)^2 \\ &=900-\frac{3}{8} \left(60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right)^2,&(t>t_1) \end{aligned} x ( t ) = 900 + 2 1 ( − 0.750 ) ( 60 11 6 + 11 1 − t ) 2 = 900 − 8 3 ( 60 11 6 + 11 1 − t ) 2 , ( t > t 1 ) v ( t ) = x ˙ = d x d t = d d t { 900 − 3 8 ( 60 6 11 + 1 11 − t ) 2 } = 3 4 ( 60 6 11 + 1 11 − t ) , ( t > t 1 ) \begin{aligned} v(t) &= \dot x = \dxt{x} \\ &=\dt\left\{900-\frac{3}{8} \left(60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right)^2\right\} \\ &=\frac{3}{4} \left(60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right),&(t > t_1) \end{aligned} v ( t ) = x ˙ = d t d x = d t d ⎩ ⎨ ⎧ 900 − 8 3 ( 60 11 6 + 11 1 − t ) 2 ⎭ ⎬ ⎫ = 4 3 ( 60 11 6 + 11 1 − t ) , ( t > t 1 ) a ( t ) = v ˙ = d v d t = d d t { 3 4 ( 60 6 11 + 1 11 − t ) } = − 3 4 , ( t > t 1 ) \begin{aligned} a(t) &= \dot v = \dxt{v} \\&=\dt \left\{ \frac{3}{4} \left( 60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t \right) \right\} \\&=-\frac{3}{4}, &(t > t_1) \end{aligned} a ( t ) = v ˙ = d t d v = d t d { 4 3 ( 60 11 6 + 11 1 − t ) } = − 4 3 , ( t > t 1 ) 주의 { v ( t 1 ) 0 → 1 = 15 11 2 ≈ 35.2 , v ( t 1 ) 1 → 4 = 45 2 ≈ 31.8 ∴ v ( t 1 ) 0 → 1 ≠ v ( t 1 ) 1 → 4 \mathbf{\text{주의}} \begin{cases} v(t_1)_{0 \to 1} &= 15 \sqrt{\frac{11}{2}} \approx 35.2, \\ v(t_1)_{1 \to 4} &= \frac{45}{\sqrt{2}} \approx 31.8 \\ \therefore v(t_1)_{0 \to 1} &\ne v(t_1)_{1 \to 4} \end{cases} 주의 ⎩ ⎨ ⎧ v ( t 1 ) 0 → 1 v ( t 1 ) 1 → 4 ∴ v ( t 1 ) 0 → 1 = 15 2 11 ≈ 35.2 , = 2 45 ≈ 31.8 = v ( t 1 ) 1 → 4