10판/2. 직선운동

2-36 할리데이 10판 솔루션 일반물리학

짱세디럭스 2019. 7. 25. 08:49

[풀이자주 : 이 문제의 모든 조건을 만족시키면 두 구간이 만나는 시점의 속도가 일치하지 않습니다. (최하단 그래프 참고)
1. 출발지 or 도착지에서 정지하지 않았거나,
2. 구간이 1:3분할이 아니거나,
3. 주어진 가속도가 오차 혹은 틀렸거나
4. 구간변경시점에 무한대의 가속으로 속도가 점프했거나(=물리적으로 불가능)
중 하나입니다.
물리적으로 불가능하지만, 모든 주어진 조건이 참이라고 가정하고 풀었습니다. 위의 4번가능성인 양쪽에서 구한 속도가 구간변경시점에 일치하지 않을 수 있다, 즉, 무한대의 가속도로 속도가 순간변화했다는 가정을 한 것입니다. 만일 위의 다른 가정하에 푼다면 답은 달라집니다. 주의바랍니다.]
[조금만 기하적으로 해석해보면 vt그래프 기준으로 밑넓이가 이동거리이므로, 넓이비가 1:3이며 높이가 같으려면 필수적으로 시간비도 1:3이 되어야 하며, 기울기비는 자동으로 3:1이 되어야 합니다. 하지만 주어진 기울기비는 11:3이죠. 다시말해 거리비(=넓이비)가 3:11 이되거나, 기울기비가 1:3이 되면 조건이 맞을 수 있습니다. 혹은 출발or도착지점에서 정지하지 않았다고 가정하는 방법도 있겠네요.]
덕분에 뭐가 틀렸나 찾느라 개고생했네요 ㅜㅠ

{v0=0v4=0x0=0x4=900[m]x1=14x4=9004=225[m]Δx14=34x4=34900=675[m]a01=+2.75[m/s2]a14=0.750[m/s2]\begin{cases} v_0 &= 0 \\ v_4 &= 0 \\ x_0 &= 0 \\ x_4 &= 900\ut{m} \\ x_1 &= \frac{1}{4}x_4 = \frac{900}{4} = 225\ut{m} \\ \Delta x_{1\to4} &= \frac{3}{4}x_4 = \frac{3}{4}900 = 675\ut{m} \\ a_{0\to1} &= +2.75 \ut{m/s^2} \\ a_{1\to4} &= -0.750 \ut{m/s^2} \end{cases}
(a) t4=?t_4 =? Δx=v0t+12at2,Δx01=v0t01+12a01t012x1x0=12a01(t1t0)2x1=12a01t12(2361)t1=2x1a01(2362) \begin{aligned} \Delta x &= v_0t+\frac{1}{2}at^2, \\ \Delta x_{0\to1} &= v_0t_{0\to1}+\frac{1}{2}a_{0\to1}t_{0\to1}^2 \\ x_1-x_0 &= \frac{1}{2}a_{0\to1}(t_1-t_0)^2 \\ x_1 &= \frac{1}{2}a_{0\to1}t_1^2 \cdots(2-36-1) \\ t_1 &= \sqrt{\frac{2x_1}{a_{0\to1}}} \cdots({2-36-2}) \end{aligned} Δx=vt12at2,Δx14=v4t1412a14t142=12a14t142(2363) \begin{aligned} \Delta x &= vt-\frac{1}{2}at^2, \\ \Delta x_{1\to4} &= v_4t_{1\to4}-\frac{1}{2}a_{1\to4}t_{1\to4}^2 \\ &= -\frac{1}{2}a_{1\to4}t_{1\to4}^2 \cdots(2-36-3) \end{aligned} t142=2Δx14a14t4t1=2Δx14a14 (t0) \begin{aligned} t_{1\to4}^2 &= - \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}} \\ t_4-t_1 &= \sqrt{- \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}}} \ (\because t\ge 0) \end{aligned} Ans=t4=t1+2Δx14a14=2x1a01+2Δx14a14=2(225[m])+2.75[m/s2]+2(675[m])0.750[m/s2]=60611+111[s](2364)55.21844985252948[s]55.2[s] \begin{aligned} \Ans &=t_4 = t_1+\sqrt{- \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}}} \\ &= \sqrt{\frac{2x_1}{a_{0\to1}}} +\sqrt{- \frac{2\Delta x_{1\to4}}{a_{1\to4}}} \\ &= \sqrt{\frac{2(225\ut{m})}{+2.75 \ut{m/s^2}}}+ \sqrt{-\frac{2(675\ut{m})}{-0.750 \ut{m/s^2}}} \\ &= 60 \sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}\ut{s}\cdots(2-36-4) \\ &\approx 55.21844985252948\ut{s} \\ &\approx 55.2\ut{s} \end{aligned}
(b) maxv=vM=v1?\max v = v_M = v_1? 2aΔx=v2v02,2a01Δx01=v12v02 \begin{aligned} 2a\Delta x &= v^2-v_0^2, \\ 2a_{0\to 1}\Delta x_{0\to 1} &= v_1^2-v_0^2 \end{aligned} v1=2a01(x1x0)=2a01x1=2(+2.75[m/s2])(225[m])=15112[m/s]35.17811819867573[m/s]35.2[m/s] \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{2a_{0\to 1}(x_1-x_0)} \\ &= \sqrt{2a_{0\to 1}x_1} \\ &= \sqrt{2(+2.75 \ut{m/s^2})(225\ut{m})} \\ &= 15 \sqrt{\frac{11}{2}}\ut{m/s} \\ &\approx 35.17811819867573\ut{m/s} \\ &\approx 35.2\ut{m/s} \end{aligned}
(c) (2362),(2-36-2), t1=2x1a01=2(225[m])+2.75[m/s2]=30211[s] \begin{aligned} t_1 &= \sqrt{\frac{2x_1}{a_{0\to1}}} \\ &= \sqrt{\frac{2(225\ut{m})}{+2.75 \ut{m/s^2}}} \\ &= 30 \sqrt{\frac{2}{11}}\ut{s} \end{aligned} (Case A) \text{(Case A)} t<t1t<t_1 (2361), (2-36-1), Δx01=12aAt012x(t)x0=12aA(tt0)2x(t)=12(2.75)t2=118t2,(t<t1) \begin{aligned} \Delta x_{0\to 1} &=\frac{1}{2}a_At_{0\to 1}^2 \\x(t)-x_0&=\frac{1}{2}a_A(t-t_0)^2 \\x(t)&= \frac{1}{2}(2.75)t^2 \\&=\frac{11}{8}t^2, &(t < t_1) \end{aligned} v(t)=x˙= ⁣dx ⁣dt= ⁣d ⁣dt(118t2)=114t,(t<t1) \begin{aligned} v(t) &= \dot x = \dxt{x} \\&=\dt\left(\frac{11}{8}t^2\right) \\&=\frac{11}{4}t, &(t < t_1) \end{aligned} a(t)=v˙= ⁣dv ⁣dt a(t) = \dot v = \dxt{v} a(t)= ⁣d ⁣dt(114t)=114,(t<t1) \begin{aligned} a(t)&=\dt \left(\frac{11}{4}t \right) \\&=\frac{11}{4}, &(t < t_1) \end{aligned} (Case B) \text{(Case B)} t>t1t>t_1 (2363), (2-36-3), Δx14=12aBt142x4x(t)=12aB(t4t)2 \begin{aligned} \Delta x_{1\to 4} &= -\frac{1}{2}a_Bt_{1\to 4}^2 \\ x_4-x(t) &= -\frac{1}{2}a_B(t_4-t)^2 \end{aligned} (2364),(2-36-4), x(t)=900+12(0.750)(60611+111t)2=90038(60611+111t)2,(t>t1) \begin{aligned} x(t)&=900+ \frac{1}{2}(-0.750)\left(60 \sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right)^2 \\ &=900-\frac{3}{8} \left(60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right)^2,&(t>t_1) \end{aligned} v(t)=x˙= ⁣dx ⁣dt= ⁣d ⁣dt{90038(60611+111t)2}=34(60611+111t),(t>t1) \begin{aligned} v(t) &= \dot x = \dxt{x} \\ &=\dt\left\{900-\frac{3}{8} \left(60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right)^2\right\} \\ &=\frac{3}{4} \left(60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t\right),&(t > t_1) \end{aligned} a(t)=v˙= ⁣dv ⁣dt= ⁣d ⁣dt{34(60611+111t)}=34,(t>t1) \begin{aligned} a(t) &= \dot v = \dxt{v} \\&=\dt \left\{ \frac{3}{4} \left( 60\sqrt{\frac{6}{11}+\frac{1}{\sqrt{11}}}-t \right) \right\} \\&=-\frac{3}{4}, &(t > t_1) \end{aligned} 주의{v(t1)01=1511235.2,v(t1)14=45231.8v(t1)01v(t1)14 \mathbf{\text{주의}} \begin{cases} v(t_1)_{0 \to 1} &= 15 \sqrt{\frac{11}{2}} \approx 35.2, \\ v(t_1)_{1 \to 4} &= \frac{45}{\sqrt{2}} \approx 31.8 \\ \therefore v(t_1)_{0 \to 1} &\ne v(t_1)_{1 \to 4} \end{cases}